Fenômenos de transporte: Função erro de Gauss e a transferência de calor em regime transiente

A função erro de Gauss (Equação 1) aparece quando se deseja resolver problemas de transferência de calor em regime transiente.

$$ erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int{e^{-x^2}} dx \tag{1} $$

A função erro complementar é:

$$ erfc(x) = 1 - erf(x) \tag{2} $$

Um exemplo de sua utilização é na solução da equação do calor para um sólido seminfinito.

$$ \frac{\partial^2{T}}{\partial{x^2}} = \frac{1}{\alpha} \frac{\partial{T}}{\partial{t}} \tag{3} $$

T é a temperatura, x o comprimento (de uma placa ou profundidade do solo por exemplo), $\alpha$ é a difusividade térmica e t o tempo. A solução dessa equação envolve a utilização de uma variável similar $ \eta \equiv \frac{x}{{4 \alpha t}^{1/2}} $. São calculadas as derivadas de $ \eta $ e substitui-se na Equação 3. Após a mudança de variável a equação diferencial parcial é transformada em equação diferencial ordinária que, ao ser integrada, solicita a solução da integral da Equação 1}. A solução da Equação 3 é:

$$ \frac{T(t)-T_s}{T_i-T_s} \equiv erf (\eta) \tag{4} $$

Onde T(t) é a temperatura no tempo t, $T_s$ a temperatura da superfície (constante e diferente da temperatura inicial) e $T_i$ a temperatura inicial.

O desenvolvimento, condições de contorno utilizadas e tabela com os valores das funções erf(x) e erfc(x) são apresentados em detalhes por Incropera ¹.

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